09.06.2017.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра за смерoве Л, М, Н, Р, В

Време израде: 180 минута.

четврти ток

1

Одредити бар једну базу и димензију векторског потпростора \(V \leq \mathbb R[x]\) генерисаног полиномима:

\[p_1(x) = (\alpha + 1) + \alpha x + \alpha x^2 + \alpha x^3 + \cdots + \alpha x^{n-1},\\p_2(x) = \alpha + (\alpha + \frac 1 2)x + \alpha x^2 + \alpha x^3 + \cdots + \alpha x^{n-1},\\p_3(x)= \alpha + \alpha x + (\alpha + \frac 1 3)x^2 + \alpha x^3 + \cdots + \alpha x^{n-1},\\\vdots\\p_n(x) = \alpha + \alpha x + \alpha x^2 + \alpha x^3 + \cdots + (\alpha + \frac 1 n)x^{n-1},\]

у зависности од реалног параметра \(\alpha.\)

2

Дато је линеарно пресликавање \(L: M_2(\mathbb R) \rightarrow \mathbb R^2[x]\),

\[L\begin{pmatrix} a & b\\ c &d \end{pmatrix} = (a+2b+c+d) + (-b+c+d)x.\]
  1. Одредити бар по једну базу \(\text{Ker } L\) и \(\text{Im }L,\) као и ранг и дефект.
  2. Одредити матрицу пресликавања \(L\) у односу на пар база \[e= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0& 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 &0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\right\} \text { и } f= \{1-x, 1+x\}.\]

3

Израчунати вредност детерминанте:

\[\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n-2 & n-1 & n\\2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n & n\\3 & 4 & 5 & \cdots & n & n & n\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\n-1 & n & n& \cdots & n & n & n\\n & n & n& \cdots & n & n & n\end{vmatrix}\]

4

  1. Ако је \(A = \begin{pmatrix} 0 & -4 & -6\\ -1 & 0 & -3\\ 1& 2 & 5\end{pmatrix},\) израчунати \(A^{2017}.\)
  2. Решити систем диференцних једначина \[x_{n+1} = -4y_n - 6z_n, \quad y_{n+1} = -x_n - 3z_n, \quad z_{n+1} = x_n + 2y_n + 5z_n,\]са почетним условом \(x_0 = 1, y_0 = 3, z_n = -5.\)

5

Дато је пресликавање \(\circ: \mathbb R^3[x] \times \mathbb R^3[x] \rightarrow \mathbb R, p\circ q = p(0)q(0) + p'(1)q'(1) + p''(2)q''(2).\)

  1. Показати да је \(\circ\) скаларни производ на \(\mathbb R^3[x].\)
  2. Одредити угао између полинома \(p(x) = 1+x+x^2\) и потпростора \(U^\perp, \) где је \(U = \{p \in \mathbb R^3[x] \mid p(0) + p'(1) + p''(2) = 0\}.\)
  3. Наћи бар једну ортонормирану базу простора \(\mathbb R^3[x]\) у односу на овај скаларни производ.

6

  1. Дата је матрица \(A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4\\ -2 & 6 & 2\\ 4 & 2 & 3\end{pmatrix}.\) Одредити ортогоналну матрицу \(P\) и дијагоналну матрицу \(D\) такве да важи \(A = PDP^T.\)
  2. Дијагонализовати квадратну форму \(q: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3, q(x,y,z) = 3x^2 + 6y^2+3z^2 - 4xy + 8xz + 4yz.\)