25.06.2018.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра за смерoве Л, М, Н, Р, В

Време израде: 180 минута.

трећи ток

1

Доказати да детерминанта реда \(n\)

\[\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\-1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2 & -1\\0 & 0& 0 & \cdots & 0 & -1 & 2\end{vmatrix}\]

има вредност \(n+1.\)

2

Нека је \(L: \mathbb R^4[X] \rightarrow \mathbb R^4[X]\) дефинисано са

\[L(p) = p(x) + x\cdot p(2).\]
  1. Доказати да је \(L\) линеарни оператор векторског простора \(\mathbb R^4[X].\)
  2. Наћи матрицу \(A\) линеарног опетарора \(L\) у односу на канонску базу \(e\) простора \(\mathbb R^4[X],\) као и карактеристични и минимални полином оператора \(L.\)
  3. Одредити сопствене вредности и сопствене векторе оператора \(L.\) Наћи бар једну базу \(f\) простора \(\mathbb R^4[X]\) у којој \(L\) има дијагоналну матрицу \(D.\)
  4. Наћи матрицу \(A^n, \, n \in \mathbb N.\)

3

Дато је пресликавање \(\circ: \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R\) на следећи начин:

\[(x_1, x_2, x_3) \circ (y_1, y_2, y_3) = 2x_1y_1+2x_2y_2+2x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1-x_2y_3-x_3y_2.\]
  1. Доказати да је \(\circ\) скаларни производ на векторском простору \(\mathbb R^3.\)
  2. Одредити бар једну ортонормирану базу простора \(\mathbb R^3\) у односу на овај скаларни производ.
  3. Ако је \(U\) скуп решења једначине \(x-2y+3z=0,\) одредити ортогоналну пројекцију вектора \(v = (0,1,4)\) на потпростор \(U,\) а затим и растојање тог вектора од потпростора \(U.\)

4

Нека је \(A \in M_n(\mathbb R)\) таква да је \(A^k = O\) за неко \(k \in \mathbb N.\) Ако је \(X\) матрица формата \(n \times 1\) над пољем \(\mathbb R\) таква да је \(A^{k-1}X \neq 0,\) доказати да је систем \(\{X, AX, A^2X, \ldots, A^{k-1}X\}\) линеарно независан.