08.06.2018.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра за смерoве Л, М, Н, Р, В

први ток

1

Нека су \(p = 1+2x+3x^2+4x^3, \, q = 2+3x+5x^2+4x^3, \, r = 1+x+x^2+x^3\) и \(s = 2+2x+3x^2+x^3.\)

  1. Ако је \(U = \Omega(p,q)\) и \(W = \Omega(r,s),\) одредити по једну базу и димензију за \(U + W\) и \(U \cap W.\)
  2. Показати да за тачно једно \(\alpha \in \mathbb R\) полином \(4 - \alpha + 2x + (2+\alpha)x^2\) припада \(U \cap W\) и за такво \(\alpha\) представити га као линеарну комбинацију вектора који генеришу \(W.\)

2

Нека је \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\-2 & 1 & -2\\ -2 & 2 & -3\end{pmatrix} \in M_3(\mathbb R).\)

  1. Показати да је \((1,0,-1)^T\) сопствена колона матрице \(A.\)
  2. Израчунати сопствене вредности матрице \(A.\)
  3. Да ли је матрица \(A\) дијагоналног типа?
  4. Израчунати \(A^{2018}.\)

3

  1. Ако су \(P\) и \(Q\) матрице из \(M_2(\mathbb R),\) доказати да је са \(L(X) = PX + XQ\) дефинасн један оператор простора \(M_2(\mathbb R).\)
  2. Ако су \(P = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 &0\end{pmatrix}\) и \(Q = \begin{pmatrix} 1 & -1\\4 & -3\end{pmatrix},\) одредити матрицу оператора у односу на канонску базу простора \(M_2(\mathbb R),\) бар једну базу језгра и слике, као и ранг и дефект.

4

У векторском простору \(\mathbb R^3[X]\) дато је пресликавање \(\circ: \mathbb R^3[X] \times \mathbb R^3[X] \rightarrow \mathbb R\) на следећи начин:

\[p \circ q = p(0)q(0) + p'(0)q'(0) + \frac 3 2 p''(0)q''(0).\]
  1. Доказати да је \(\circ\) један скаларни производ на простору \(\mathbb R^3[X].\)
  2. Доказати да скуп свих полинома \(p \in \mathbb R^3[X]\) који задовољавају \(xp'(x) = 2p(x+1)\) чини потпростор простора \(\mathbb R^3[X]\) и наћи растојање полинома \(x^2\) од овог потпростора у односу на дати скаларни производ.

5

Нека је \(e = [e_1, e_2, e_3]\) ортонормирана база еуклидског векторског простора \(V\) и нека је дата квадратна форма \(Q\) на \(V\) на следећи начин:

\[Q(xe_1 + ye_2 + ze_3) = 5x^2 + 10y^2 + 10z^2 + 12xy + 12xz + 18yz.\]

Одредити бар једну ортонормирану базу \(f = [f_1, f_2, f_3]\) простора \(V\) у којој форма \(Q\) има канонски облик и изразити \(Q\) преко координата \(x', y', z'\) у новој бази \(f.\)