МАТФ РОКОВИ
17.06.2019.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Време израде: 180 минута.

први ток

1

Одредити детерминанту у зависности од реалног параметра \(a\):\[\begin{vmatrix}1 & a -1 & a-2 & \cdots & a-n+2 & a-n+1\\a & 2 & a & \cdots & a & a\\a & a & 3 & \cdots & a & a\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\a & a & a & \cdots & n-1 & a\\a & a & a & \cdots & a & n\end{vmatrix} \]

2

Нека је \(U = \Omega((1,2,0,1), (1+\lambda, 5,-1,2))\) и \(V = \Omega((0,1,1,1), (2,1+\lambda, -2, 0)).\)

  1. За које \(\lambda \in \mathbb R\) је \(\dim(U \cap V) \neq 0?\)
  2. За једну од вредности добијених у претходном делу, одредити базу и димензију за \(U, V, U+V\) и \(U \cap V.\)

3

Нека је у векторском простору \(V = M_2(\mathbb R)\) дато пресликавање \(L: V \rightarrow V\) са \(L(X) = X^TC,\) где је \[C = \begin{pmatrix} 1 & 0\\4 & 1\end{pmatrix}.\]

  1. Доказати да је \(L\) линеарни оператор векторског простора \(V\) и наћи у његову матрицу у односу на канонску базу простора \(V.\)
  2. Одредити језгро и ранг оператора \(L.\) Да ли је \(L\) бијекција?
  3. Одредити карактеристични и минимални полином оператора \(L.\) Испитати да ли је \(L\) дијагоналног типа.

4

На векторском простору \(\mathbb R^3[X]\) дат је скаларни производ на следећи начин: \(p \circ q = p(0)q(0)+p'(0)q'(0)+\frac 1 4 p''(0)q''(0),\) где су \(p,q \in \mathbb R^3[X].\) Доказати да је скуп \(\Pi\) скуп свих полинома \(p \in \mathbb R^3[X]\) таквих да је \(p(1)+p''(x) = 3\) један афини потпростор векторског простора \(\mathbb R^3[X]\) и одредити растојање полинома \(p = 2x+4x^2\) од потпростора \(\Pi.\)

5

Нека су \(S_1, S_2\) и \(S_3\) различити потпростори \(n\)-димензионог векторског простора \(V\) такви да је \(\dim S_i = n-1,\) за \(i = 1,2,3\) и \(S_1 \cap S_2 \nsubseteq S_3.\) Одредити \(\dim (S_1 \cap S_2)\) и доказати да је \(\dim(S_1 \cap S_2 \cap S_3) = n-3.\)