27.01.2019.

Колоквијум из предмета Линеарна алгебра за смерoве Л, М, Н, Р, В

Време израде: 180 минута.

четврти ток

1

Решити систем над пољем \(\mathbb Z_{11}\)

\[\begin{array}{rcrcrcr}4x & + & 3y & + & 5z & = & 2\\3x & + & 4y & + & 2z & = & 7\\8x & + & 10y& + & 6z & = & 4\end{array}.\]

2

Ипситати да ли је \((M_2(\mathbb R), \oplus, \bullet)\) векторски простор над пољем \(\mathbb R\) ако су операције дефинисане са

\[X \oplus Y = X + Y + E \quad \text{ и } \quad \alpha \bullet X = \alpha X + (\alpha - 1) E.\]

3

Нека је \(A_n\) квадратна \(n \times n\) матрица чији су сви коефицијенти једнаки \(1.\)

  1. Одредити природне бројеве \(m\) и \(n\) такве да су множења \(XA_m\) и \(A_n X\) дефинисана за све матрице \(X \in M_{23}(\mathbb R).\)
  2. За \(m\) и \(n\) из дела 1. показати да је \(U = \{X \in M_{23}(\mathbb R) | XA_m = A_n X\}\) потпростор векторског простора \(M_{23}(\mathbb R).\)
  3. Одредити бар једну базу и димензију векторског простора \(U. \)

4

Дати су векторски простори

\[U = \{p \in \mathbb R^4[x] \mid p'(1) = p''(-1)\}\\ V = \mathcal L (x-x^2, x^2-x^3, x^3-x)\\W = \{p \in \mathbb R^3[x] \mid 2p(1) = p(2)\}.\]
  1. Одредити бар једну базу и димензију векторског простора \((U \cap V) + W.\)
  2. Одредити димензију векторског простора \(U \cap V \cap W.\)

5

У зависности од реалног параметра \(\lambda\) одредити ранг матрице

\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & \lambda & \lambda^2 & \lambda^3\\1 & \lambda^2 & \lambda^3 & \lambda^4\end{pmatrix}\]

6

Одредити инверз матрице

\[\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\2 & 5 & 1 & 1\\1 & 3 & 1 & -2\\1 & 4 & -2 & 4\end{pmatrix}\]