МАТФ РОКОВИ
12.12.2018.

Колоквијум из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Време израде: 90 минута.

четврти ток, група Б ТЕСТ

1

Решити систем Гаусовим методом у зависности од реалног параметра \(a\):\[\begin{array}{rcrcrcr}(a+1)x & + & y & + & z & = & 1\\x & + & (a+1) y & + & z & = & a\\x & + & y & + & (a+1)z & = & a^2 \end{array}.\]

2

  1. Одредити реалне коефицијенте полинома \(P(x) = x^4+ax^2+bx+c,\) тако да буде дељив са \(x-2i,\) а да при дељењу са \(x-1\) даје остатак \(5.\) Наћи остале нуле полинома \(P(x).\)
  2. Одредити сва решења једначине \(z^3 = \left( \frac 8 {\sqrt 2} (-1 + i) \right)^{50}.\)

3

  1. Испитати да ли су скупови \[U = \{p \in \mathbb R^5[x] \mid p(11) = 0, \deg p \neq 2\} \text{ и } V = \{ p \in \mathbb R^5[x] \mid p'''(3) - 3p(0) = 2p'(-1) \}\] векторски потпростори векторског простора \(\mathbb R^5[x].\)
  2. Одредити бар по једну базу и димензију векторских простора \[U = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x+2y+z=0\} \text { и } V = \mathcal L((1,0,1), (1,3,-3), (7,9,-5)).\]Показати да је \(\mathbb R^3 = U+V.\) Да ли је претходна сума директна?