13.06.2020.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра за смерoве Л, М, Н, Р, В

трећи ток

1

Дат је векторски простор \(\mathbb R^3[x]\) и пресликавање

\[\langle p, q \rangle = p(-1)q(-1) + p(0)q(0) + p(1)q(1).\]
  1. Доказати да је пресликавање \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) скаларни производ на датом простору.
  2. Одредити једну ортонормирану базу простора \(\mathbb R^3[x].\)
  3. Одредити растојање вектора \(1\) од потпростора \(\mathcal L(1+x, 1+x^2).\)

2

Дат је векторски простор \(C(\mathbb R)\) и потпростори \(U = \mathcal L(\sin^2{\frac x 2}, \cos^2{\frac x 2}, \sin^2 x, \cos^2 x)\) и \(V = \mathcal L(\cos x, \sin x, \cos{2x}, \sin{2x}).\)

  1. Доказати да постоји база за \(U\) која садржи векторе \(\cos x\) и \(\cos 2x.\) Одредити једну такву базу и одредити једну базу за \(V.\)
  2. Доказати да је са \(L(f) := f' - f'' + f(0)\sin x\) коректно дефинисано линеарно пресликавање \(L: U \rightarrow V.\) Да ли је \(L\) инвертибилно?
  3. Одредити матрицу пресликавања \(L\) у односу на базе из дела 1.
  4. Одредити слику, језгро, ранг и дефект пресливанања \(L.\)

3

Одредити неку ортонормирану базу за \(\mathbb R^3\) у којој квадратна форма

\[Q(x,y,z) = x^2+y^2+3z^2+4xy+2xz+2yz\]

има канонски облик.

4

Израчунати детерминанту

\[\begin{vmatrix}1 & 4 & 6 & 8 & \cdots & 2(n-1) & 2n\\2 & 2 & 6 & 8 & \cdots & 2(n-1) & 2n\\2 & 4 & 3 & 8 & \cdots & 2(n-1) & 2n\\2 & 4 & 6 & 4 & \cdots & 2(n-1) & 2n\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\2 & 4 & 6 & 8 & \cdots & n-1 & 2n\\2 & 4 & 6 & 8 & \cdots & 2(n-1) & n\end{vmatrix}\]