Писмени испит из предмета
Линеарна алгебра
За смерове Л, М, Н, Р, В.
Време израде: 180 минута.
четврти ток
Решити систем у зависности од реалног параметра \(\alpha\):\[\begin{array}{rcrcrcr}(\alpha + 3)x & + & y & + & 2z & = & \alpha\\\alpha x & + & (\alpha - 1)y & + & z & = & 2\alpha\\3(\alpha + 1)x & + & \alpha y & + & (\alpha + 3) z & = & 5\end{array}\]
Израчунати детерминанту \[\begin{vmatrix}1 & 4 & 6 & 8 & \cdots & 2(n-1) & 2n\\2 & 2 & 6 & 8 & \cdots & 2(n-1) & 2n\\2 & 4 & 3 & 8 & \cdots & 2(n-1) & 2n\\2 & 4 & 6 & 4 & \cdots & 2(n-1) & 2n\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\2 & 4 & 6 & 8 & \cdots & n-1 & 2n\\2 & 4 & 6 & 8 & \cdots & 2(n-1) & n\end{vmatrix}\]
Дати потпростори \(U = \mathcal L(\sin^2{\frac x 2}, \cos^2{\frac x 2}, \sin^2 x, \cos^2 x)\) и \(V = \mathcal L(\cos x, \sin x, \cos{2x}, \sin{2x})\) векторског простора \(C(\mathbb R) = \{f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \mid f \text{ непрекидно }\}.\)- Допунити скуп \(\{\cos x, \cos{2x}\}\) до базе за \(U\) и одредити базу за \(V.\)
- Доказати да је са \((Lf)(x) = f'(x) - f''(x) + f(0)\sin x\) добро дефинисано линеарно пресликавање \(L: U \rightarrow V.\) Да ли је \(L\) инвертибилно?
- Одредити матрицу пресликавања \(L\) у односу на пар база из дела 1.
- Одредити слику, језгро, ранг и дефект пресликавања \(L.\)
Дат је векторски простор \(\mathbb R^4[x]\) и пресликавање\[ \circ : \mathbb R^4[x] \times \mathbb R^4[x] \rightarrow \mathbb R, \quad p \circ q = p(0)q(0) + p(1)q(1) + \frac 3 4 \int_0^1{p''(x)q''(x)\, dx}.\]- Доказати да је \(\circ\) скаларни производ на датом простору.
- Одредити једну ортонормирану базу потпростора \(U = \mathcal L(1+x, 1+x^2, 1+x^3).\)
- Одредити растојање вектора \(1\) од потпростора \(U\) и угао који овај вектор заклапа са тим потпростором.
Одредити дијагонални облик следеће квадратне форме и неку ортонормирану базу у којој квадратна форма има тај облик:\[ x^2 + y^2 + 3z^2 + 4xy + 2xz + 2yz.\]
На векторском простору низова \(\mathbb R^{\mathbb N \cup \{0\}} = \{a = (a_n)_{n = 0}^\infty \}\) дато је линеарно пресликавање \[L: \mathbb R^{\mathbb N \cup \{0\}} \rightarrow \mathbb R^{\mathbb N \cup \{0\}}, \quad (La)_n = a_{n+3} - 2a_{n+2} - a_{n+1} + 2a_n.\]- Одредити језгро \(U\) линеарног пресликавања \(L.\)
- Показати да је \(a \circ b = a_0 b_0 + a_1b_1 + a_2b_2\) скаларни производ на векторском простору \(U.\)
- За линеарни функционал \(\Phi \in U^*, \Phi(a) = a_0\) одредити низ \(x \in U\) за који је \(\Phi = x^*,\) тј. \(\Phi(a) = a \circ x,\) за све \(a \in V.\)