Колоквијум из предмета
Линеарна алгебра
За смерове Л, М, Н, Р.
Време израде: 180 минута.
први ток
Решити систем једначина\[\begin{array}{rcrcrcr}x & + & 2y & + & (\alpha -1)z & = & 1\\-x & - & y & + & z & = & 0\\-\alpha x & - & (\alpha + 3) y & - & \alpha z & = & -3\\-\alpha x & - & (\alpha + 2)y & &&=&\alpha^2-5\alpha-2\end{array}\]над пољима \(\mathbb R\) и \(\mathbb Z_5,\) у зависности од параметра \(\alpha.\)
Дата је матрица \[A = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 & 9 \\-1 & 5 & 1& 12\\ -6 & 7 & 4 & 20\\ 0 & 0 & 0& a-1\end{pmatrix}\] над пољем \(\mathbb R.\)- У зависности од реалног параметра \(\alpha,\) одредити канонску матрицу \(A^0\) матрице \(A\) и инвертибилне матрице \(P\) и \(Q\) такве да је \(A^0 = PAQ.\)
- У зависности од реалног параметра \(a, \) испитати инвертибилност матрице \(A.\) Одредити инверз матрице \(A\) за \(a=2,\) ако постоји.
Израчунати детерминанту\[\begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\1 & 4 & 3 & \cdots & n-1 & n\\1 & 2 & 6 & \cdots & n-1 & n\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\1 & 2 & 3 & \cdots & 2(n-1) & n\\1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & 2n\end{vmatrix}\]
Одредити низ \((a_n)_{n \geq 0}\) рекурентно задат једнакостима: \(a_0 = 1, a_1 = -1, a_2 = 1, a_{n+3} = 3a_{n+2}-3a{n+1} + a_n\) (за све \(n \geq 0\).) Решење детаљно образложити.