Писмени испит из предмета
Линеарна алгебра
За смерове Л, М, Н, Р, В.
Време израде: 180 минута.
други ток
Израчунати детерминанту\[\begin{vmatrix}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\-1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0\\0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1\\0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{vmatrix}\]
Дате су матрице \[A = \begin{bmatrix}3 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}\]Нека су \(U = \{X \in M_2(\mathbb R) | AX = XA\}\) и \(W\) скуп свих матрица \(X \in M_2(\mathbb R)\) за које важи \[X + X^T = cB, \text{ за неко } c \in \mathbb R\]Одредити бар једну базу и димензију за просторе \(U, W, U+W\) и \(U \cap W.\)
Нека је \(L: \mathbb R^3[X] \rightarrow \mathbb R^3\) дато са \[L(P) = (P(0) + 2P'(1), P(1) - P(-1), P(2)+P'(0)).\]- [4] Доказати да је \(L\) линеарно пресликавање.
- [4] Одредити матрицу \(L\) у односу на канонске базе.
- [4] Наћи базу и димензију за језгро и слику пресликавања \(L.\) Да ли је \(L\) инвертибилно?
- [4] Одредити \(L^2(1+2x+X^2).\)
Одредити неку базу у којој следећа квадратна форма има дијагонални облик: \[F(x,y,z) = x^2 + 2y^2 - 2z^2 + 4xz.\]