07.06.2021.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра за смерoве Л, М, Н, Р, В

Време израде: 180 минута.

трећи ток

1

Решити систем једначина

\[\begin{array}{rcrcrcrcr}3x & + & 5y & + & 2z & + & 5u & = & 2\\x & + & 6y & + & 6z & + & u & = & 2\\4x & + & 3y & + & 3z & + & 4u & = & 2\\5x & + & 2y & + & 5z & + & 2u & = & 2\end{array}\]
  1. у пољу \(\mathbb R.\)
  2. у пољу \(\mathbb Z_7.\)

2

Нека су \(U = \mathcal L((1,2,-1,3), (3,5,0,5), (2,3,1,2), (-1,0,-5,5))\) и \(V = \mathcal L((2,3,-1,4), (3,5,0,5), (-1,-2,-1,2), (4,7,-1,8)).\) Одредити базу и димензију простора \(U, V, U+V\) и \(U \mathcal V.\)

3

Нека је пресликавање \(L: \mathbb R^3[X] \rightarrow \mathbb R^3\) дефинисано са:

\[L(p) = (p(0) + p'(1), p(1) + p'(3), p'(2) + \frac 1 2 p''(0)).\]
  1. Доказати да је \(L\) линеарно пресликавање.
  2. Одредити димензије и неке базе језгра \(Ker L\) и слике \(Im L.\)
  3. Одредити матрицу оператора \(L\) у односу на пар канонских база простора \(\mathbb R^3[X]\) и \(\mathbb R^3,\) а затим одредити и бар један пар база ових простора у односу на коју пресликавање има канонску матрицу.

4

У векторском простору \(\mathbb R^3[X]\) дато је пресликавање \(\circ : \mathbb R^3[X] \times \mathbb R^3[X] \rightarrow \mathbb R\) на следећи начин:

\[p \circ q = 2p(-1)q(-1) + p(0)q(0) + 3p(1)q(1).\]
  1. Доказати да је \(\circ\) један скаларни производ на простору \(\mathbb R^3[X].\)
  2. Ако је скуп \(U\) потпростор простора \(\mathbb R^3[X]\) генерисан векторима \(1-x\) и \(x^2 - 2x,\) наћи бар једну ортонормирану базу за \(U\) и \(U^\perp\) у односу на дати скаларни производ.
  3. Одредити ортогоналну пројекцију вектора \(p(x) = 7-2x = 10x^2\) на потпростор \(U,\) а затим и растојање вектора \(p\) од потпростора \(U.\)

5

У ОНБ \(e = [e_1, e_2, e_3]\) еуклидског векторског простора \(V\) дата је квадратна форма \(Q(xe_1 + y_e2 + ze_3) = 3x^2 + 3z^2 + 4xy+ 8xz + 4yz.\) Одредити бар једну базу у односу на коју ова квадратна форма \(Q\) има канонски облик и изразити \(Q\) преко координата \(x', y', z'\) у новој бази.

6

Нека је \(L\) линеарни операор векторског простора \(V\) димензије \(n \geq 2\) такав да је \(\rho(L-I) = 1.\)

  1. Одредити степен минималног полинома за \(L.\)
  2. Ако је \(L^2=I,\) одредити \(\rho(L+I).\)