Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(V\) коначнодимензионални векторски простор и \(U \leq V\) неки његов потпростор. Дфинисати анихилатор \(U^{\circ}\) потпростора \(U,\) доказати да је то један векторски потпростор дуала \(V^*\) и доказати да је \(\dim U + \dim U^\circ = \dim V.\)

1. Показати да је \((\mathbb R ^{\mathbb N}, \oplus, \bullet)\) векторски простор ако су операције задате са \[(x \oplus y)_n = x_n + y_n - n \text{ и } (\alpha \bullet x)_n = \alpha x_n + (1-\alpha)n,\] за све \(x,y \in \mathbb R^{\mathbb N}\) и све \(\alpha \in \mathbb R.\)
2. Да ли је скуп свих аритметичких низова из \(\mathbb R ^{\mathbb N}\) векторски потпростор простора \(\mathbb R ^{\mathbb N}?\)

Одредити матрицу \(A\) такву да је \(\det A > 0\) и \[\text{adj} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\2 & -2 & 0\\ 1 & 2 & -1\end{pmatrix}.\]

1. Одредити Жорданову нормалну форму \(J\) матрице \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ 1 & 5 & -2\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix},\) као и инвертибилну матрицу \(P\) такву да важи \(A = PJP^{-1}.\)
2. Израчунати \(A^{2021}.\)
3. Одредити бар једну матрицу \(B\) такву да важи \(A = B^2.\)

Дат је линеарни оператор \[L: \mathbb R^3 [x] \rightarrow \mathbb R^3 [x], \quad (Lp)(x) = 2p(2x) - p'(x) - x(p(0) + p(x) - p(-x)).\]

1. Одредити језгро оператора \(L.\) Да ли је овај оператор инвертибилан?
2. Да ли је оператор \(L\) симетричан? (На \(\mathbb R^3[x]\) подразумевамо стандардни скаларни производ \(p \circ q = p(0)q(0) + p'(0)q'(0) + \frac{p''(0)q''(0)}4.\))

1. Ако је \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}\) показати да је пресликавање \[\circ: M_2(\mathbb R) \times M_2(\mathbb R) \rightarrow \mathbb C, \quad A \circ B = Tr(B^TMA).\] скаларни производ на векторском простору \(M_2(\mathbb R).\)
2. Одредити једну ортонормирану базу потпростора \(U = \{A \in M_2(\mathbb R) | A^T = A\}\) симетричних матрица.
3. Да ли матрица \(\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 3\end{pmatrix}\) заклапа већи угао са потпростором \(U\) или са потпростором \(U^{\perp}?\)