МАТФ РОКОВИ
06.12.2021.

Колоквијум из предмета Алгебра 1 За смерове Л, Р.

1

Одредити остатак при дељењу \(13! \cdot 7! + 2207^{2647}\) са \(2584.\)

2

Нека су у \(\mathbb S_9\) дате пермутације \[f = \lfloor 8,5,7,3,2,4,1\rceil\lfloor1,7,9,3\rceil\lfloor4,2,8,9,5,3\rceil\]и\[g=\lfloor1,2,7,6,4\rceil \lfloor4,9,7,2,6\rceil \lfloor 1,4,9,5,3,6,8,2,7\rceil\]Одредити цикличну декомпозицију, ред и знак за \(f,\) \(g,\) \((f^{30}g^{10})^2\) и \((fg)^{1234}.\) Одредити ред групе \(A_n \cap \langle fg \rangle.\)

3

Нека је \(G = \langle a \rangle\) циклична група реда \(875.\) Колико подгрупа има група \(G?\) Колико генератора има група \(G?\) Одредити све елементе реда \(15\) и \(35.\) Колико постоји хомоморфизама \(f\colon G \rightarrow \mathbb S_7?\) Колико постоји хомоморфизама \(f\colon G \rightarrow \mathbb D_9?\)

4

Група \(G\) је дељива уколико за свако \(a \in G,\) \( n \in \mathbb N\) постоји \(b \in G\) такво да је \(b^n = a.\) Доказати да је група \((\mathbb Q, +)\) дељива. Испитати да ли је \((\mathbb Q^+, \cdot)\) дељива. Нека је \(f\colon H \rightarrow K\) епиморфизам. Уколико је \(H\) дељива, да ли је тада и \(K\) недељива? Нека је \(f\colon H \rightarrow K\) мономорфизам. Уколико је \(K\) дељива, да ли је тада и \(H\) дељива?