Писмени испит из предмета Теорија мере и интеграције За смер Л.

1. Нека су дати скупови \(S = \{k \in \mathbb N : 2021 | k\}\) и \(T = \{k \in \mathbb N : 2021 \nmid k \} \) и фамилија \[ \mathfrak M = \{A, A \cup T \mid A \subseteq S\}.\]Доказати да је \(\mathfrak M \, \, \sigma\)-алгебра на скупу \(\mathbb N.\)
2. Нека је дата фамилија скупова \(\mathcal E = \{A \subseteq \mathbb N \mid \lvert A\rvert = 2021\}.\) Наћи минималну \(\sigma\)-алгебру \(\mathfrak N\) на \(\mathbb N\) која садржи \(\mathcal E.\)
3. Нека је дата произвољна \(\sigma\)-алгебра \(\mathfrak B\) на \(\mathbb N\) и функција \(f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R\) таква да је \(f(\mathbb N)\subseteq \mathbb N.\) Доказати да је функција \(f\) мерљива у односу на \(\sigma\)-алгебру \(\mathfrak B\) акко је \(f^{-1}(\{n\}) \in \mathfrak B\) за свако \(n \in \mathbb N.\)
4. Испитати мерљивост функција \(g\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb R\) и \(h\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb R\) датих са \[g(n) = n^3 \text{ и } h(n) = e^n\]у односу на \(\sigma\)-алгебре \(\mathfrak M\) и \(\mathfrak N.\)

[БОНУС][5] Описати све \(\mathfrak M\)-мерљиве функције \(f\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb N.\)

Нека је \((X, \mathfrak M, \mu)\) простор са мером и \(E \in \mathfrak M.\) Доказати да за сваки подскуп \(A \subseteq X\) важи \[\mu(E\cap A) + \mu (E \cup A) = \mu (E) + \mu(A).\]

Доказати да је \[\int\limits_0^{+\infty} e^{-ax}\frac{x^n}{1-e^{-x}}\,\mathrm dx = \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{n!}{(a+k)^{n+1}}, \] где је \(a \in (0,1)\) и \(n \in \mathbb N.\)

Нека је \((\mathbb R, \mathfrak M, \mu)\) простор са мером; при чему је \(\mathfrak M\) Лебегова \(\sigma\)-алгебра, а \(\mu\) Лебегова мера. Нека је дат низ функција \(f_n\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) са \(f_n = \frac 1{(x^2+1)^n}.\)

1. Испитати да ли овај низ конвергира униформно на \(\mathbb R.\)
2. Испитати да ли овај низ конвергира \(\mu\) скоро свуда.
3. Испитати да ли овај низ конвергира у \(L^1\) норми.
4. Испитати да ли овај низ конвергира по мери \(\mu.\)