МАТФ РОКОВИ
28.11.2010.

Колоквијум из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1

Означимо са \(K\) тачку симетричну ортроцентру \(H\) оштроуглог трогла \(ABC\) у односу на средиште странице \(BC\), и са \(D\) пресечну тачку правих \(AK\) и \(BC.\) Нека су \(E\) и \(F\) подножја нормала из тачке \(D\) на правама \(AB\) и \(AC.\)

  1. Доказати да тачка \(K\) припада описаном кругу трогла \(ABC\) и да је \(AK\) пречник. (2.5 поена)
  2. Доказати да је \(EF\parallel BC.\) (2.5 поена)

2

У равни \(\mathbb E ^2\) конструисати троугао \(ABC\) коме су полуобим, полупречник споља уписаног круга који одговара темену \(A\) и висина из темена \(C\) подударни редом датим дужима \(p, \rho_a\) и \(h_c.\) (5 поена)

3

Кругови \(k_1,k_2,k_3\) су међусобно ортогонални при чему се \(k_1\) и \(k_2\) секу у тачкама \(A\) и \(B\), \(k_2\) и \(k_3\) у тачкама \(C\) и \(D\), \(k_3\) и \(k_1\) у тачкама \(E\) и \(F\). Доказати да се кругови описани око троуглова \(ACE\) и \(ADF\) додирују у тачки \(A.\) (5 поена)

4

Ако су \(S_a, S_b, S_c\) центри споља уписаних кругова троуглова \(ABC\) доказати да је круг описан око троугла \(ABC\) Ојлеров круг троугла \(S_aS_bS_c.\) (2.5 поена)

5

Доказати да су у произвољном троуглу \(ABC\) средиште висине из темена \(A\), центар уписаног круга и додирна тачка странице \(BC\) са споља уписаним кругокм три колинеарне тачке. (2.5 поена)