Писмени испит из предмета Алгебра 2 За смерове Л, Н.

Нека је \[R = \left \{ \begin{pmatrix} a & 0 & c\\ 0 & b & 0\\ -c & 0 & a\end{pmatrix}:a, b, c \in \mathbb Q (i)\right\}.\]

1. Доказати да је \(R\) комутативни потпрстен прстена \(\text{M}_3(\mathbb Q(i)).\)
2. Доказати да је скуп \[I = \left \{ \begin{pmatrix} x & 0 & y\\0&0&0\\-y&0&x\end{pmatrix}:x,y \in \mathbb Q(i)\right\}\] главни идеал прстена \(R.\)
3. Доказати да је \[\phi\colon R \rightarrow \mathbb Q (i)\colon \begin{pmatrix}a&0&c\\0&b&0\\-c&0&a\end{pmatrix} \mapsto b, \] епиморфизам прстена и одредити \(\ker \phi.\)
4. Испитати да ли је \(I\) прост, односно максималан идеал.

Нека је \(\alpha = \sqrt{7+5\sqrt 2}.\)

1. Одредити минимални полином елемента \(\alpha\) над пољем \(\mathbb Q.\)
2. Одредити коренско поље \(F\) минималног полинома \(m_\alpha(X),\) као и степен раширења \([F : \mathbb Q].\)
3. Наћи полином најмањег степена \(g(X) \in \mathbb Q[X]\) такав да \(g(\alpha) = \frac{\alpha}{\alpha ^2 +1}.\)

Нека је \(f(X) = X^3+ tX^2 + t +1 \in \mathbb F_3[X].\)

1. Одредити \(t \in \mathbb F_3\) такво да је \(K = \mathbb F_3[X]/\langle f(X) \rangle\) поље.
2. За ту вредност параметра \(t\) одредити једну базу векторског простора \(K\) над пољем \(\mathbb F_3,\) као и број елемената поља \(K.\)
3. Ако је \(\beta = X^2+2+ \langle f(X) \rangle, \) одредити инверз елемента \(\beta\) у пољу \(K,\) за претходно одређену вредност параметра \(t.\)

1. Нека је \((G, \cdot)\) Абелова група. Доказати да је са \(g \odot (x,y) = (g^2x, g^2y)\) дефинисано дејство групе \(G\) на скупу \(G \times G.\)
2. Ако је \(G = \Phi_{30},\) одредити орбиту и стабилизатор елемената \((11,19)\) и \((7,17)\) при дејству које је дефинисано под \(1).\)

Нека је \(G\) група реда \(1768 = 2^3\cdot 13 \cdot 17.\)

1. Доказати да \(G\) има нормалну подгрупу реда \(13.\)
2. Доказати да \(G\) има подгрупу \(L\) реда \(13 \cdot 17\) и да је \(L\) циклична.
3. Доказати да је \(L\) нормална подгрупа групе \(G.\)