Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика А За смерове Л, М, Н.

Дводимензионална случајна величина \((X,Y)\) има густину расподеле \[f(x, y)=3x,\, 0\lt y\lt x\lt 1,\] а случајна величина \(Z\) има геометријску \(\mathcal G(0.5)\) расподелу. Познато је да су случајне величине \(X\) и \(Z\) некорелисане, а да је коефицијент корелације случајне величине \(Y\) и \(Z\) једнак \(\frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{171}}\). Одредити математичко очекивање случајне величине \(V,\) где је \(V=(X+Y+Z)^2.\)

У коверти се налази 8 цедуља нумерисаних бројевима од 1 до 8. Цедуље се извлаче једна за другом без враћања, а бројеви којима су нумерисане се запишу као низ. Израчунати вероватноћу да у том низу никоја четири суседна броја нису у опадајућем поретку.

Два рониоца на дах заронила су у исто време. Претпоставља се да су времена роњења сваког од њих независна и да имају експоненцијалну расподелу са очекиваном вредношћу 3 минута. Ако је познато да је бар један од њих ронио између 3 и 5 минута и да је прошло бар 20 секунди између тренутака када су рониоци изронили, одредити вероватноћу докађаја да је прошао највише један минут између тренутака када су изронили.