МАТФ РОКОВИ
04.06.2021.

Колоквијум из предмета Анализа 2 За смерове Л, Р.

Други колоквијум

1

  1. Доказати да је једначинама \(\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}y^2 = z, x^2+y^2+z^2 = 3\) одређена једна глатка крива.
  2. Нека је \(C\) крива из дела \(1),\) оријентисана позитивно, гледано из тачке \((0,0,2).\) Одердити јединични тангентни вектор криве \(C\) у тачки \((1,1,1)\) сагласан са задатом оријентацијом.
  3. Ако је \(F\colon \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\) глатко векторско паље дато са \(F(x,y,z) = (x,y,z),\) израчунати интеграл \(\int_C \bm F \cdot \mathrm d\mathbf r.\)

2

  1. Нека је \(G: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \) глатко векторско поље дато са \[G(x,y,z) = (5x-8xz + 3yz - 2z^2, 3y + 2\sqrt 3 z, 3x^2+4(z-1)^2).\] Доказати да постоји глатко векторско поље \(F\colon\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\) такво да \(\operatorname{rot} F = G.\)
  2. Ако је \(H \subset \mathbb R^3\) полупростор ограничен са равни \(\sqrt 3 y + 2z = 2\) који садржи тачку \((0,0,0) \in \mathbb R^3,\) израчунати интеграл \(\iint_S \bm G \cdot d \bm S\), где је \(S\) унутрашња страна дела елипсоида \(4x^2 + y^2 + 4z^2 = 4\) који се налази у полупростору \(H.\)

3

Израчунати интеграл \[\int\limits_0^1(x^b-x^a)\frac{\sin(\ln x)}{\ln x},\] где је \(a,b \gt 0.\)

4

Нека је \(f \) \(2\pi-\)периодична функција дата са \[f(x) = \begin{cases} \cos 2px, &x \in [0,\pi],\\0, &x \in (-\pi, 0). \end{cases}\] где је \(p \in \mathbb N\) фиксиран број.

  1. Одредити Фуријеов ред функције \(f.\)
  2. Испитати обичну конвергенцију на \(\mathbb R, \) а равномерну на \((0, \frac{\pi}{2})\) Фуријеовог реда функције \(f.\)
  3. Одредити суме \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)^2}{((2n-1)^2-4p^2)}\) и \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2-4p^2}.\)