Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове Л, Р.

Нека је на скупу \(G = \mathbb Q \times (\mathbb Q \setminus \{0\})\) дефинисана операција \(*\) са \[(a,b) * (x,y) = (a - b + bx, by).\] Доказати да је \((G, *)\) група. Испитати да ли је \(H = \{(m, n) \in \mathbb Q \times (\mathbb Q \setminus \{0\}) \mid n > 0\}\) подгрупа групе \(G.\)

Одредити које од наредних група су међусобно изоморфне\[ \mathbb S_4 \times \mathbb Z_9, \quad \mathbb D_6 \times \mathbb Z_{18}, \quad \mathbb Z_{12} \times \mathbb Z_{18}, \quad \mathbb Z_{12} \times \mathbb Z_6 \times \mathbb A_3, \quad \mathbb A_4 \times \mathbb D_9.\]

Нека су дате пермутације \(f = \lfloor 1, 6, 5, 2, 3, 7\rceil \lfloor 1, 2, 4 \rceil \lfloor 3, 6, 5 \rceil\) и \(g = \lfloor 1, 3, 5, 7 \rceil \lfloor 2, 4, 7 \rceil \lfloor 5, 6 \rceil \) у \(\mathbb S_7.\) Одредити ред и знак пермутација \(f\) и \(g.\) Одредити број елемената централизатора пермутације \(f\) и број елемената централизатора пермутације \(g.\)

Нека је \(G\) Абелова група, \(n\) природан број, \(H_n = \{g \in G \mid g^n = e\}\) и \(K_n = \{g^n \mid g \in G\}.\) Доказати да је \(G/H_n \cong K_n.\)

Одредити елементарну и нормалну форму Абелових гурпа \(G = \mathbb Z_{20} \times \mathbb Z_{40} \times \mathbb Z_{80} \times \mathbb Z_{160}\) и \( H = \mathbb Z_{129} \times \mathbb Z_{54} \times \mathbb Z_{72} \times \mathbb Z_{144}.\) Одредити број елемената реда \(6, 8\) и \(10\) у групама \(G\) и \(H.\)