Писмени испит из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека су дати скупови \[A = \left\{ \sin \left(\frac{5n-10}{4n+1}\pi\right) \middle | n \in \mathbb N \right\}\] и \[B = \left \{\frac{n^3(m+1)^m}{8(m^3+2n^3)(-m)^m} \middle | n,m \in \mathbb N\right\}.\]

1. [6] Наћи \(\sup A, \inf A, \min A\) и \(\max A\) (ако постоје).
2. [6] Наћи \(\sup B, \inf B, \min B\) и \(\max B\) (ако постоје).
3. [3] Наћи \(\sup (A \cup B), \inf (A \cup B), \min (A \cup B)\) и \(\max (A \cup B)\) (ако постоје).

Нека је \(0 \lt \varepsilon \lt 1\) и \(a \in \mathbb R.\) Низ \(\{x_n\}_{n \in \mathbb N}\) је дефинисан на следећи начин: \[x_1 = a, \quad x_{n+1} = a + \varepsilon \sin x_n, \qquad n \geq 1.\]

1. [8] Доказати да је низ \(\{x_n\}_{n \in \mathbb N}\) конвергентан.
2. [4] Ако са \(\xi\) означимо граничну вредност \(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n,\) доказати да је \(\xi\) јединствено решење једначине \(x - \varepsilon \sin x = a.\)

Нека су дате функције \(f, g: [-\frac{\pi}{2}, +\infty) \rightarrow \mathbb R,\) \[\begin{aligned}f(x) &= \begin{cases} \arctg \sqrt[3]x, \qquad &x\geq 0\\ (\sqrt{4+x}-2e^{\frac{x}{s}})(\sin x)^{-2}+a, &x \in [-\frac{\pi}{2}, 0)\end{cases},\\ \qquad g(x) &= \begin{cases} \ln(1+|x-x^2|), &x \geq 0\\ b, &x \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \end{cases}\end{aligned}\]

1. [4] Наћи константе \(a\) и \(b\) такве да функције \(f\) и \(g\) буду непрекидне на \([-\frac{\pi}{2}, +\infty).\)
2. [6] За такве вредности \(a\) и \(b\) испитати диференцијабилност функције \(f(x)g(x)\) на \([-\frac{\pi}{2}, +\infty).\)
3. [5] За такве вредности \(a\) и \(b\) испитати равномерну непрекидност функције \(f(x)g(x)\) на \([-\frac{\pi}{2}, +\infty).\)

Нека је \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb R\) непрекидно диференцијабилна функција таква да је \(f'(x) \gt 0\) за све \(x \in (a,b).\) Ако је \(a \leq c \lt d \leq b\) и \(f(c)f(d) \gt 0\) показати да постоји \(\xi \in (c,d)\) такво да је \[\frac{df(c) - cf(d)}{f(d)-f(c)} = \frac{f(\xi)}{f'(\xi)} - \xi.\]