31.05.2021.
Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.
Ток 1О4
1
- Формулисати Ролову теорему.
- Нека су \(s: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) диференцијабилне функције такве да важи \(s(0) = s(\pi) = 0\) и \(c(0) = 1\) и за свако \(x \in \mathbb R \)је испунјено \(s'(x) = c(x)\) и \({ c'(x) = -s(x).}\)
- Нека су \(x_1 < x_2\) нуле функције \(s\) такве да у интервалу \((x_1, x_2)\) функција \(s\) нема више ниједну нулу. Доказати да постоји тачно једна нула функције \(c\) у интервалу \((x_1, x_2).\)
- Нека је \(a \in \mathbb R.\) Доказади да израз \(s(x)c(a-x) + c(x)s(a-x)\) не зависи од \(x\) и да је једнак \(s(a).\)
- Доказати да функције \(s\) и \(c\) имају бесконачно много нула на \(\mathbb R.\)
2
- Формулисати и доказати поредбени критеријум за конвергенцију редова.
-
- Испитати конвергенцију реда \[\sum_{n=1}^{+\infty}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}).\]
- Наћи константе \(\alpha, \beta \in \mathbb R\) тако да следећи ред конвергира: \[ \sum_{n=1}^{+\infty}(\sqrt[3]{n} + \alpha\sqrt[3]{n-1} + \beta \sqrt[3]{n+2}).\]
3
У зависности од параметра \(\alpha \gt \frac{1}{4}\) израчунати \[\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\mathrm dx}{a + \tg x + \tg^2 x}.\]
4
- Испитати конвергенцију интеграла \[\int\limits_0^{10} \frac{(-1)^{[x]}}{x^3}\mathrm dx.\]
- Испитати условну и апсолутну конвергенцију интеграла \[\int\limits_0^\infty \frac{(-1)^{[x]}}{\sqrt x}\mathrm dx.\]