Колоквијум из предмета Анализа 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Дате су функције \(F: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) и \(g:(-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) са \[F(x) = \int\limits_{\frac{1}{2}}^x \frac{t + \arctg t}{1 + t}\mathrm dt \text{ и } g(x) = \frac{x^2 + x + 2}{1+x^2} - \arctg x.\]

1. [4] Испитати монотоност функције \(F\) и наћи локалне екстремуме.
2. [4] Доказати да функција \(F\) има тачно две нуле.
3. [2] Наћи асимптоте функције \(g.\)
4. [4] Доказати да функција \(F\) има бар једну превојну тачку.

Израчунати интеграл \[\int\limits_{\frac{\pi}{7}}^\frac{6\pi}{7} \frac{\sin^2x + 3|\sin 2x|}{|\cos x | + |\sin x|}\mathrm dx.\]

1. [6] У зависности од реалног параметра \(p,\) испитати конвергенцију интеграла \[I(p) = \int\limits_{2021}^{+\infty} \frac{\ln^p(x-2020)}{\sqrt{e^{x-2021}-1}}\mathrm dx.\]
2. [6] Израчунати \(I(0).\)

У зависности од реалног параметра \(q,\) испитати условну и апсолутну конвергенцију реда \[\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt[3]{\sqrt{4 + \frac{1}{n^4}}+\ln\left(1+\frac{1}{3n^q}\right)-2}\cdot \cos 3n.\]