Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика Б За смерове Л, М, Н.

Карактеристична функција \(\varphi_n\) општег члана низа случајних величина \((X_n)\) дата је са \[\varphi_n(t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3+e^{\frac{3it}{n}}}{3-e^{\frac{3it}{n}}}.\] Испитати све четири врсте конвергенције тог низа.

Тестира се хипотеза да је новчић хомоген тј. \(H_0(p=0.5),\) против алтернативне хипотезе \(H_1(p=0.55)\) где је \(p\) вероватноћа да падне писмо. Тест се формира тако да ако је у \(1000\) бацања новчића више од \(K\) пута добијено писмо одбацује се претпоставка да је новчић хомоген, при чему је вероватноћа тачног прихватања тврђења да новчић није хомоген четири пута већа од погрешног одбацивања тврђења да новчић није хомоген. Ако је при тестирању добијено \(539\) писама, да ли се одбацује хипотеза да је новчић хомоген?

Из популације чије обележје \(X\) има нормалну \(\mathcal N \left(0,\theta^2\right)\) расподелу извучен је узорак обима \(3.\) ако је \(T=\sqrt{X^2_1+X_2^2+X_3^2}\) и \(P_T(x)=\frac{1}{2T}\{T\gt\lvert x\rvert\},\) доказати да је за свако \(x\in\mathbf R,\) \(P_T(x)\) непристрасна оцена густине обележја \(X\) у тачки \(x.\)