Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смер М.

Нека је \(Y\) комплексан Банахов простор и \[X=\{f\colon [0,+\infty)\to Y \mid f\text{ је непрекидно и постоји }\lim_{x\to +\infty} f(x)\}.\]

1. Доказати да је \(X\) вектроски простор над \(\mathbb C\) и да је пресликавање \(\lVert \cdot\rVert_X \colon [0, +\infty)\) дефинисано са \(\lVert f\rVert_X = \sup_{x\in[0,+\infty)}\lVert f(x)\rVert_Y,\) једна (добро дефинисана) норма на \(X\) која га чини Банаховим простором
2. Ако је \(\{y_n^*\}_{n\in\mathbb N}\) апсолутно сумабилан низ функционала у \(Y^*,\) показати да је са \(\Lambda^* f=\sum_{n=1}^{+\infty} y^*_n\left(f(n)\right)\) задат ограничени линеарни функционал на \(X\) и израчунати његову норму.

Израчунати \[\min_{a,b\in\mathbb C}\int\limits_{-\infty}^\infty \left\lvert a\ch x + b\sh x+ x\right\rvert^2e^{-x^2}\,\mathrm dx .\]

Нека је \(\alpha\in\mathbb R\) и \(A_n\colon C[-1,1]\to C[-1,1]\) низ пресликавања дефинисан са \[\left(A_n\, f\right)(x)=n^\alpha\int\limits_{-n}^x f\left(\frac{t}{n}\right)\,\mathrm dt.\] Доказати да су \(A_n\) (добро дефинисани) ограничени линеарни оператори и у зависности од \(\alpha\in\mathbb R\) испитати слабу, јаку и униформну конвергенцију низа \(A_n.\)

Нека је \(T\colon l^2 \to l^2\) дефинисан са \[T(x_1,x_2, x_3, x_4, \dots, x_{2n-1},x_{2n},\dots)=(-x_2, x_1, -\frac{x_4}{2}, \frac{x_3}{2},\dots,-\frac{x_{2n}}{n}, \frac{x_{2n-1}}{n}, \dots).\]

1. Доказати да је \(T\) добро дефинисан ограничен линеаран оператор на \(l^2\) и одредити \(\lVert T\rVert.\)
2. Одредити \(T^*\) и испитати нормалност оператора \(T.\)
3. Одредити сопствене вредности и одговарајуће сопствене векторе оператора \(T.\)
4. Доказати да се \(T\) може добити као униформни лимес коначно-димензионих ограничених линеарних оператора на \(l^2\) па затим одредити \(\sigma(T).\)
5. Испитати инјективност и сурјективност оператора \(T.\)