МАТФ РОКОВИ
08.09.2019.

Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смерове М, Н.

1

Нека је \(1\lt p\lt +\infty\) и \(X\) Банахов простор.

  1. Показати да \[\lVert (x_n)_{n=1}^\infty\rVert_p^w \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup_{f^*\in X^*, \lVert f^*\rVert\le 1} \left(\sum_{n=1}^\infty \lvert f^*(x_n)\rvert^p\right)^{1/p}\] дефинише норму на простору \[w_p(X)=\{(x_n)_{n=1}^\infty\mid x_n\in X, (f^*(x_n))_{n=1}^\infty\in l^p \text{ за свако } f^*\in X^*\}\] која га чини Банаховим.
  2. Показати да је пресликавање \[\Lambda\colon B(l^p, X)\to w_p(X)\colon T\mapsto (Te_n)_{n=1}^{\infty}\] где је \(e_n=(0,\dots,0,1,0,\dots)\) (\(1\) на \(n\)-тој координати) и \(q\) такво да је \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,\) добро дефинисано и да представља изометрију.

2

Нека је \((H, \langle\cdot,\cdot\rangle)\) Хилбертов простор и \(A, B, C, D\in B(H).\)

  1. Показати да \[\langle (x_1,y_1), (x_2,y_2)\rangle_{H\oplus H}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\langle x_1, x_2\rangle +\langle y_1, y_2\rangle\] дефинише скаларни производ на \(H\oplus H\stackrel{\mathrm{def}}{=} \{(x,y)\mid x,y\in H\}\) који га чини Хилбертовим простором.
  2. Наћи адјунгован оператор оператору \[\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \colon H\oplus H \to H\oplus H.\]
  3. Показати да је норма оператора \[A\oplus B \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} \colon H\oplus H \to H\oplus H\] једнака \(\lVert A\oplus B\rVert = \max \{\lVert A\rVert, \lVert B\rVert\}\) као и да је \(\sigma_p(A\oplus B)=\sigma_p(A)\cup \sigma_p(B).\)

3

Нека је оператор \(A\colon L^2[0,+\infty)\to l^2\) дат са \[Af =\left(\int_{n}^{n+1} f(x)\,\mathrm dx\right)^{\infty}_{n=0}.\] Показати да \(A\in B(L^2[0,+\infty),l^2)\) и наћи \(\lVert A\rVert.\) Одредити њему адјунгован оператор \(A^*\) и показати да је \(B^2=B\) где је \(B=A^*A.\)

4

Нека је \(m\in\mathbb N\) фиксирано. Дат је скуп \[M=\{x=(x_n)_{n=1}^\infty\in\ l^2 \mid \textstyle\sum_{k=1}^{2m} x_k =\textstyle\sum_{k=1}^{2k}(-1)^k x_k =0\}.\]

  1. Доказати да је \(M\) затворен потпростор \(l^2\) и одредити \(M^{\bot}.\)
  2. Израчунати \(\operatorname{dist} (y, M)\) где је \(y=(1,2,3,\dots,2m,0,0,\dots).\)