Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смерове М, Н.
1
Нека је \(\alpha\in\mathbb R,\) \(1\le p\lt +\infty\) и \[X_{p,\alpha}=\{(x_{n})^{\infty}_{n=1}\mid x_n\in\mathbb C\text{ и постоји } M\gt 0 \text{ такво да је }\sum_{j=1}^n\lvert x_j\rvert^p\le Mn^{\alpha p}\}.\]
- Показати да је са \[\lVert (x_n)_{n=1}^\infty\rVert_{p,\alpha}=\sup_{n\ge 1}\left\{n^{-\alpha}\left(\sum_{j=1}^n\lvert x_j\rvert^p\right)^{1/p}\right\}\] дата једна норма на \(X_{p,\alpha}\) која га чини Банаховим простором.
- Доказати да за \(p\gt 1\) пресликавање \[A\colon l^p\to X_{1,1}\colon (x_n)_{n=1}^\infty\mapsto \left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x_k}{k+n}\right)^\infty_{n=1}\] припада класи \(B(l^p, X_{1,1}).\)
2
Нека је \(1\lt p \le + \infty.\) Показати да је \(T\colon L^p(0,+\infty)\to L^p(0,+\infty)\) дат са \[\left(Tf\right)(x)=\frac{1}{x}\int_{(0,x)} f(t)\,\mathrm dt\] линеаран ограничен оператор и одредити \(\lVert T\rVert.\) Да ли је он инјективан?
3
Нека је \(U\colon H\to H\) унитарни оператор да на Хилбертовом простору \(H,\) то јест нека је \(U\) ограничен и линеаран оператор такав да је \(UU^*=U^*U=I.\) Показати да
- \(H=N(U-I)\oplus \overline{R(U-I)};\)
- оператор \(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}U^k\) јако конвергира ка ортогоналном пројектору на потпростор \(N(I-U)\) кад \(n\to +\infty.\)
4
Нека је \[g(x)=\begin{cases}x-1, & x\in[0,2] \\ 1, & x\in (2,3]\\ 2x^2-16x+31, & x\in (3,6]\end{cases}.\] Показати да оператор \(A\colon L^2[0,6]\to L^2[0,6],\) дат са \(Af=fg,\) припада класи \(B(L^2[0,6])\) и одредити \(\lVert A\rVert,\) \(\sigma(A)\) и \(\sigma_p(A).\)