Писмени испит из предмета Увод у финансијску математику За смерове Л, М, Н, Р.

Одредити временски период за који дуг од 2000$ на 5 година са каматом \(3\%\) и дуг од 3000$ на 6 година са каматом \(4\%,\) могу бити измирени уплатом 5000$ са каматом \(6\%.\)

Обвезница \(A\) чија је откупна вредност 1500$ са роком доспећа 5 година и годишњим купонима 60$, 70$, 80$, 90$ и 100$ редом, има добит до доспећа променљиву каматну стопу \(\lambda(t) = \frac{1}{t^2+3t+2}.\) Обвезница \(B\) чија је откуна вредност 1500$ са роком доспећа 5 година има купонску стопу \(4,5\%\) са годишњом исплатом купона и добит до доспећа \(7\%\) са годишњим обрачуном. Која од обвезница \(A\) и \(B\) има већу вредност?

Нека је \(\tilde d\) дурација тока новца који се десио у тренуцима \(t_j \geq 5, \) при чему је \(P_j = P\) садашња вредност тока новца који се десио у тренуцима \(t_j,\) за све \(j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}.\) Доказати да је \[(\tilde d^2 + 1) \sqrt[n]{\prod_{j=1}^n t_j} \geq \tilde d \sqrt[n]{\prod_{j=1}^n (1+t_j^2)}.\]

Случајна величина \(X\) има густину расподеле \(f(x) = ax\sqrt{1-bx}\) за \(x \in [0, \frac{1}{b}]\) и \(f(x) = 0\) за \(x \notin [0, \frac{1}{b}],\) где су \(a,b \gt 0\) и важи \(E(X) = \frac{2}{7}.\) Наћи константе \(a,b,\) дисперзију \(D(X)\) и вероватноћу \(P\{X \geq \frac{1}{3}\}.\)