МАТФ РОКОВИ
13.02.2021.

Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1

Нека су дати тачка \(A\) и права \(p\) и круг \(k\) који не садрже тачку \(A.\) Конструисати круг \(l\) који садржи тачку \(A,\) додирује праву \(p\) и додирује круг \(k\) споља, при чему права \(p\) и круг \(k\) немају заједничких тачака.

2

У екулидској равни дате су подударне дужи \(AB\) и \(A_1B_3\) тако да праве њма одређене нису паралелне. Нека су \(\mathcal R_{O, \alpha}\) и \(\mathcal R_{O', \alpha '}\) редом ротације које тачке \(A\) и \(B\) пресликавају у \(A_1\) и \(B_1\), односно у \(B_1\) и \(A_1.\)

  1. Одредити тип и компоненте изометрија \(\mathcal J = \mathcal R_{O',-\alpha'} \circ \mathcal R_{O, \alpha}\) и \(\mathcal J' = \mathcal R_{O',-\alpha'} \circ \mathcal R_{O, -\alpha}.\)
  2. Доказати да кружница над пречником \(OO'\) садржи средишта дужи \(AB\) и \(A_1B_1.\)

3

У тетраедру \(ABCD\) важи \(AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC.\) Доказати да се четири праве које садрже темена тетраедра \(ABCD\) и центре уписаних кругова наспрамних страна секу у једној тачки.

4

У хиперболичкој равни дат је троугао \(ABC,\) средиште \(M\) странице \(AC\) и тачка \(E\) таква да важи \(\mathcal B(B,M,E)\) и \(BM \cong ME.\) Доказати да је бар један од углова \(\measuredangle BEA\) и \(\measuredangle BEC\) мањи или једнак \(\frac{1}{2} \measuredangle ABC.\)