Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Три круга једнаких полупречника \(r\) секу се у тачки \(O\) и, осим тога, два по два од њих секу се у тачкама \(A,B,C.\) Доказати да је круг описан око троугла \(ABC\) такође полупречника \(r.\)

Koнструисати \(\triangle ABC\) уколико је љегова страница \(BC\) подударна датој дужи \(a\), висина из темена \(A\) подударна датој дужи \(h_a\) и разлика полупречника споља уписаног круга који додирује страницу \(a\) (\(\rho_a\)) и полупречника уписаног круга (\(\rho\)) подударна датој дужи \(d\)

Нека су \(P,Q,R\) тачке у којима круг уписан у \(\triangle ABC\) додирује љегове ивице \(BC, AC,AB.\) Ако су \(Q',R'\) тачке полуправих \(PQ\) и \(PR\) такве да је \(PQ\cdot PQ'=PR\cdot PR'\), доказати да је \(BC\parallel Q'R'.\)

Нека је \(ABCD\) тетрдрдар у еуклидском простору и нека су тачке \(P,Q,R,S\) средишта његових ивица \(AB,AC,DB,DC.\) Одредити тип изометрије \(\mathcal{J}=\mathcal{S}_{RS}\circ\mathcal{S}_{BC}\circ\mathcal{S}_{PQ}.\)

У хиперболичкој равни дат је правоугли троугао \(ABC\) (\(AB\bot BC\)). Ако су \(C_1\) и \(B_1\) средишта ивица \(AB\) и \(AC\), доказати да права \(B_1C_1\) није управна на правој \(AB\).