Колоквијум из предмета Анализа 2 За смерове М, Н, В.

Површ \(P\) дата је једначином \(2x^2y+xy^2z+xyz=4.\)

1. Наћи тангентну раван на \(P\) у тачки \((1,1,1).\)
2. Доказати да постоји околина \(U\) тачке \((1,1)\) и функција \(g\colon U \rightarrow \mathbb{R}\) тако да је у некој околини тачке \((1,1,1)\) површ \(P\) њен график.

Материјал за доњу страну акваријума кошта два пута мање него стакло за преоостале стране акваријума. Акваријум је у облику квадра и нема поклопац. Одредити димензије најјефтинијег акваријума запремине \(V.\)

Нека је \(M = \{a\colon\mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}\}\) и нека је \(d\colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}\) задато са \[{d\left(a,b\right) = \begin{cases} 0, & a=b \\ \frac{1}{\min\{k \in \mathbb{N} \mid a(k) \neq b(k)\}}, &a\neq b\end{cases}}\]

1. Доказати да је \((M, d')\) метрички простор.
2. Испитати непрекидност функције \(f\colon (M,d) \rightarrow (\mathbb{R}, \lvert \cdot \rvert),\) задате са \(f(a) = \sum_{k=1}^\infty \frac{2a(k)}{3^k}.\)
3. да ли је \((M, d)\) повезан метрички простор?

Нека је \((M_3(\mathbb{R}), \lVert \cdot \rVert_2)\)простор квадратних матрица реда \(3,\) где је \(\lVert A \rVert_2 = \sqrt{\sum_{i,j = 1}^3 a^2_{ij}}\) и нека је \(d\) метрика индукована нормом \(\lVert \cdot \rVert_2.\)

1. Испитати непрекидност пресликавања \(f\colon (M_3(\mathbb{R}), d) \to (M_3(\mathbb{R}),d),\) \(f\left(A\right) = A \cdot A^T.\)
2. Испитати комплетност и компактност простора ортогоналних матрица \({O(3) = \{A \in M_3(\mathbb{R}) \mid A \cdot A^T = I\}.}\)
3. Доказати да \(O(3)\) није повезан метрички простор.