Писмени испит из предмета Алгебра 1 За смерове М, Н, В.

Означимо са \(P\) скуп свих парних целих бројева. На скупу \(G = \mathbb{Z} \times P\) дефинишемо бинарну операцију \(*\) са \[ (x,a) * (y,b) = (x+y-3, a+b+4), \quad (x,a), (y,b) \in G.\]

1. [7] Показати да је \((G, *)\) група. Да ли је та група Абелова?
2. [3] Решити једначину \((11,6)*(x,a) = (-5.8)\) у групи \(G.\)

Посматрајмо групу \(G = \mathbb{S}_8 \times \mathbb{Z}_6.\)

1. [4] Одредити максимални ред елемената и дати пример елемента максималног реда у \(G.\)
2. [6] Нека је \(f = (\lceil 1, 4, 5\rfloor \lceil 7,6,3 \rfloor, 4)\) елемент из \(G.\) Описати \(C_G\{f\}\) и наћи број елемената тог централизатора.

1. [4] Одредити елементарну и нормалну форму Абелове групе \(\mathbb{Z}_{24} \times \mathbb{Z}_{56} \times \mathbb{Z}_{63} \times \mathbb{Z}_{84}.\)
2. [6] Испитати да ли постоји природан број \(n\) такав да важи \(\mathbb{Z}_{40} \times \mathbb{Z}_{n} \cong \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{20} \times \mathbb{Z}_{25}.\)

Решити систем конгруенција: \[\begin{aligned} x &\equiv 5 \pmod 8 \\x &\equiv 2 \pmod {11} \\x &\equiv 1 \pmod 7 \end{aligned}\]

Нека је \(G = \langle a \rangle\) циклична група реда \(5100.\) Одредити редове елемената \(a^{560}\) и \(a^{1200}\) у \(G,\) испитати да ли је \(a^{17}\) један генератор за \(G\) и одредити да ли је пресликавање \(f: G \rightarrow G\) дефинисано са \(f(a) = a^7\) аутоморфизам групе \(G.\)

Посматрајмо пресликавање \(\varphi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^* \times GL_2(\mathbb{R})\) дефинисано са \[\varphi(t) = \left( 5^t, \begin{bmatrix} \cos t &\sin t \\ -\sin t &\cos t\end{bmatrix}, t \in \mathbb{R} \right).\] Испитати да ли је \(\varphi\) мономорфизам група.

Нека је \(G\) група, \(K = \{a \in G \mid a^2 = e\}\) и \(H = \{x^2 \mid x \in G\}.\)

1. [6] Ако је група \(G\) Абелова, доказати да је \(K\) нормална подгрупа од \(G,\) као и да важи \(G/K \cong H.\)
2. [4] Да ли претходно важи ако \(G\) није Абелова група?

Нека је \(n \geq 3\) природан број. Означимо са \(S = \{\sigma \in \mathbb{S}_{n+1} \mid \sigma(n+1) = n+1\}\) подгрупу групе \(\mathbb{S}_{n+1}\) изоморфну са \(\mathbb{S}_n.\) Доказати да не постоји ниједна подгрупа \(H\) од \(\mathbb{S}_{n+1}\) таква да важи \(S \lneqq H \lneqq \mathbb{S}_{n+1}.\)

Нека је \(N\) нормална подгрупа групе \(G\) таква да је свака подгрупа од \(N\) нормална у \(G.\) Означимо са \(G'\) подгрупу од \(G\) генерисану свим елементима \([g,h] = ghg^{-1}h^{-1}, g, h \in G.\) Доказати да је \({G' \subseteq C_G(N).}\)