Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика Б За смерове Л, М, Н.

Општи члан \(X_n\) низ независних случајних величин има густину расподеле \[f_n\left(x\right) = \frac{n}{2\sqrt{x}}e^{-n\sqrt{x}},\quad x\gt 0.\] Ако је \(Y_n = \sqrt{X_n},\) испитати сва четири типа конвергенције низа случајних величина \((Y_n).\)

На освону узорка обима \(n\) из популације чије обележје \(X\) има расподелу \(\begin{pmatrix}1 &2\\\frac{2p}{1+p} &\frac{1-p}{1+p}\end{pmatrix}, \) где је \(p\) непонати параметар, методом максималне веродостојности одредити оцену за вероватноћу \(P\left\{X=1\right\}\) и испитати њену постојаност.

На основу узорка обима \(n\) из популације чије обележје \(X\) има густину расподеле \[f\left(x\right) = \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\log x - m)^2}{2\sigma^2}},\quad x > 0.\] Треба формирати \(80\%\) двострани интеграл поверења за непознати параметар \(\sigma.\) Ако је познато да средња вредност логаритама узорачких вредности одступа од своје очекиване вредности не више од \(\frac{\sigma}{2}\) са вероватноћом \(0.98758\) и да на основу реализованог узорка важи да је \(\sum_{k=1}^n \log{x_i} = 3.139797\) и \(\sum_{k=1}^n (\log x_i)^2 = 35.63178,\) одредити тражени интервал поверења.