Колоквијум из предмета Алгебра 1 За смерове Л, Р.

Одредити остатак при дељењ \(13! \cdot 15! + 3010^{1997}\) са \(3596.\)

Нека су у \(\mathbb{S}_9\) дате пермутације \[ f = \lfloor 1, 9, 7, 4, 8, 6, 3, 2, 5 \rceil \lfloor 1, 6, 7 \rceil \lfloor 4, 2, 8, 9, 5, 3\rceil\] и \[g = \lfloor 1, 6, 7, 8\rceil \lfloor 4, 9, 5, 2, 3\rceil \lfloor 1, 4, 9, 5, 3, 6, 8, 2, 7\rceil\]Одредити цикличну декомпозицију, ред и знак за \(f, g, f^{22}g^7\) и \((fg)^{302}.\) Одредити ред групе \(A_n \cap \langle fg \rangle.\)

Нека је \(G = \langle a \rangle\) циклична група реда \(720.\) Колико подгрупа има група \(G?\) Колико генератора има група \(G?\) Одредити све елементе реда \(6\) и \(30.\) Колико постоји хомоморфизама \(f: G\rightarrow \mathbb{S}_4?\) Колико постоји хомоморфизама \(f: G \rightarrow \mathbb{D}_7?\)

Група \(G\) је дељива уколика за свако \(a \in G, n \in \mathbb{N}\) постоји \(b \in G\) такво да је \(b^n = a.\) Доказати да је група \((\mathbb{Q}, +)\) дељива. Испитати да ли је \((\mathbb{Q}^+, \cdot)\) дељива. Нека је \(f: H \rightarrow K\) епиморфизам. Уколико је \(H\) дељива, да ли је тада и \(K\) дељива? Нека је \(f: H \rightarrow K \) мономорфизам. Уколико је \(K\) дељива, да ли је тада и \(H\) дељива?