Колоквијум из предмета Алгебра 1 За смерове Л, Р.
1
Решити систем конгруенција \[\begin{aligned} x &\equiv_{37} (17!)^2\\ x &\equiv_{41}2207^{2021^{1997}} \\ x &\equiv_{43}(22!)^2 \end{aligned}\]
2
Нека су у \(S_{12}\) дате пермутације \[f = \lfloor 1, 3, 4, 6, 11, 12\rfloor \lfloor 3, 2, 4, 10, 5, 11\rfloor\] и \[g = \lfloor 1, 2, 4, 8, 12\rfloor \lfloor 4, 7, 5, 8, 3\rfloor \lfloor 4, 7, 8, 12, 5, 3, 9, 10\rfloor\]Одредити цикличну декомпозицију ред и знак за \(f, g, (f^{\rho(g)}g^{\rho(f)})^{2021}\) и \(fg^{2021}.\) Одредити \(A_n \cap \langle f \rangle.\)
3
Нека је \(G = \langle a \rangle\) циклична група реда \(225.\) Одредити све подгрупе групе \(G.\) Одредити број елемената реда \(2, 5\) и \(15.\) Одредити ред групе аутоморфизама групе \(G.\) Колико постоји хомоморфизама \(f\colon G \to \mathbb{Z}_6?\)
4
Доказати да је пресек цикличних подгрупа циклична подгрупа. Испитати да ли постоји ни бесконачних цикличних подгрупа \(H_i\) такав да је \[\bigcap_i H_i \equiv \mathbb{Z}_2.\]Испитати да ли постоји низ бесконачних цикличних подгрупа \(H_i\) такав да је \[\bigcap_i H_i\] коначан. Да ли у \((\mathbb{Z}, +)\) постоји (бесконачан) строго растући низ подгрупа?