Колоквијум из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

На скупу \(\mathbb{C}\setminus\{i\}\) дефинисана је операција \(\ast\) са \(z_1\ast z_2 = z_1z_2i+z_1+z_2\), за све \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\setminus\{i\}\). Доказати да је \((\mathbb{C}\setminus\{i\},\ast)\) група. Да ли је операција комутативна?

1. [20] Решити систем једначина методом Крамера у зависности од реалног параметра \(a\) над пољем \(\mathbb{R}\): \[\begin{alignedat}{6} a&x+ &y&+ 2&a&z=-1\\ 3&x+&(a+2)y&+ \phantom{1}&6&z=1\\ (a+3)&x+&4 y&+ \phantom{1}&8&z=-2 \end{alignedat}\]
2. [10] Решити систем једначина над пољем \(\mathbb{Z}_5\): \[\begin{alignedat}{3} &x+2&y+\phantom{1}&z=2\\ 3&x+7&y+4&z=7\\ &x+4&y+6&z=19 \end{alignedat}\]

Нека је дата матрица \[A=\begin{pmatrix}3 & a & -2 \\ -1 & 4 & 2 \\-3 & -8 & a\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).\]

1. Испитати када је матрица \(A\) инвертибилна.
2. У случају када \(A\) није инвертибилна, одредити инвертибилне матрице \(P\) и \(Q\) такве да је \(A^0=PAQ\), где је \(A^0\) канонска матрица матрице \(A.\)
3. За \(a=-3\) одредити (ако постоји) инверз матрице \(A.\)

Одредити општи члан низа \(a_n\) задатог са \(a_{n+2}=10a_{n+1}-21a_n,\) где је \(a_0=7\) и \(a_1=22.\)