Писмени испит из предмета Увод у финансијску математику За смерове Л, М, Н, Р.

Вредност обавезнице од 5000$, која доспева након \(t\) година, чија је купонска стопа 10% са кварталном исплатом купона и добит до доспећа \(\lambda\) са полугодишњим обрачуном, износи 7900$. Ако се купонска стопа од 10% замени купоснском стопом од 8% вредност обавезнице износи 6820$. Одредити \(\lambda\) и \(t.\)

Клијент \(А\) је уложио у једну банку новац \(X\) са каматном стопом 6% и кварталним обрачуном. Клијент \(Б\) је истог дана у другу банку уложио новац \(X\) са променљивом каматном стопом \(r\left(t\right)=\frac{2t}{t^2+a}.\) Ако је познато да су између треће и седме године штедње оба улога остварила исту добит, одредити константу \(a.\)

Нека је \(\tilde{d_1}\) дурација првог тока новца који се одвија у тренуцима \(t_j=\sin x_j,\) \(x_j\in(0,1),\) где је \(P_j\) садашња вредност појединачног тока који се десио у тренутку \(t_j\) за све \(1\le j\le n\) и \(\tilde{d_2}\) дурација другог тока новца који се одвија у тренуцима \(x_j,\) при чему је \(P_j\) садашња вредност појединачног тока који се десио у тренутку \(x_j\) за све \(1\le j\le n.\) Доказати да је \(\tilde{d_1}\le\sin\tilde{d_2}.\)

Случајна величина \(X\) има густину расподеле \(f\left(x\right)=\left(ax^2+x+c\right)e^{-2x},\) \(x\ge 0\) и \(f\left(x\right)=0\) за \(x\lt 0,\) где су \(a,c\in\mathbb R\) и важи \(E\left(X\right)=1.\) Наћи константе \(a,c\) дисперзију \(D\left(X\right)\) и вероватноћу \(P\left\{X\le\frac{1}{2}\right\}.\)