Писмени испит из предмета Топологија А За смер М.

Нека је \(A=\left\{\frac{1}{n}\,\middle|\, n\in\mathbb N\right\}\) и \(\mathcal B = \left\{(a,b)\setminus A\subset\mathbb R\,\middle|\, a\le b\right\}\cup\left\{(0,2)\right\}.\)

1. Доказати да је \(\mathcal B\) база неке топологије \(\mathcal T_{\mathcal B}\) на \(\mathbb R.\)
2. Одредити унутрашњост и затворење скупова \(A\) и \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) у овој топологији.
3. Испитати да ли је \(\left(\mathbb R, \mathcal T_{\mathcal B}\right)\) Хауздорфов.
4. Испитати да ли је \(\left(\mathbb R, \mathcal T_{\mathcal B}\right)\) нормалан.

Нека је \(U\) оворен скуп у еуклидском простору \(\mathbb R^2\) и \(\varphi\colon[0,1]\to U\) непрекидно пресликавање. Доказати да постоји путно повезан скуп \(V\subseteq\mathbb R^2\) такав да је \(\varphi\left([0,1]\right)\subseteq V\subseteq \overline{V}\subseteq U.\)

Нека је \(\left(\mathbb R^{\mathbb R},\mathcal T\right)\) простор функција \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\) са топологијом Тихонова тј. топологија је дата предбазом \[\mathcal S = \left\{p_x^{-1}\left(f\right)\,\middle|\,x\in\mathbb R,\,U\in\mathcal U \right\},\] где је \(p_x^\colon\mathbb R^{\mathbb R}\to\mathbb R\) евалуација у \(x\) тј. \(p_x\left(f\right)=f\left(x\right)\) док је \(\mathcal U\) стандардна топологија на \(\mathbb R.\)

1. Доказати да сваки метрички простор задовољава прву аксиому пребројивости.
2. Доказати да \(\left(\mathbb R^{\mathbb R}, \mathcal U\right)\) није метризабилан.

Нека је \(X\) компактан Хауздорфов простор и нека је \(A\subseteq X\) затворен. Доказати да је \(X/A\approx(X\setminus A)^*.\)

Нека су \(F_1,F_2,\dots,F_{n+1}\) затворени скупови на сфери \(S^n\) такви да је \(S^n=\bigcup_{i=1}^{n+1} F_i.\) Доказати да постоји \(i\in\left\{1,\dots,n+1\right\}\) такво да \(F_i\) садржи пар антиподалних тачака.