Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика А За смер Р.

Одређена информација се преноси у рачунару као бинарни код. На основу ранијег искуства познато је да је однос послатих нула и јединица \(3:4.\) Током преноса услед шума долази до грешке на једном биту независно од преноса других битова са вероватноћом \(\frac{1}{5}.\)

1. Написати како се, при наведеним условима, у програмском пакету R може симулирати пренос кода дужине 2 бита између два чвора, \(A\) и \(B.\)
2. Код дужине 2 бита се шаље између чворова \(A,\) \(B\) и \(C\) (тим редом). Ако је у чвору \(C\) добијен код 10 одредити вероватноћу да је он и послат из чвора \(A.\)

Нека су \(X\) и \(Y\) независне случајне величине које имају исти закон расподеле \[P\left\{X=k\right\}=P\left\{Y=k\right\}=\frac{1}{2^k},\quad k=1,2,\dots\]

1. Ако је \(Z=\min\{X,Y\}\) одредити функцију расподеле случајне величине \(Z.\)
2. Израчунати вероватноћу \(P\left\{Y\gt X\right\}\)
3. Ако је \(W=I\left\{X\lt Y\right\},\) испитати независност случајних величина \(Z\) и \(W.\)

Случајна величина \(Y\) има густину расподеле \(f_{Y}\left(y\right)=\frac{1}{2}e^{-\lvert y\rvert},\) \(y\in\mathbb R,\) а условна густина расподеле случајне величине \(X\) при услову \(Y=y\) је \(f_{X\mid Y=y}\left(x\right)=e^{-\left(x-y\right)},\) \(x\ge y.\) Одредити \(f_{Y\mid X=x}\left(y\right),\) условну густину расподеле случајне величине \(Y\) при услову \(X=x.\)