Писмени испит из предмета Анализа 2 За смер И.

Израчунати следеће интеграле:

1. \( \int{\arctan{\frac{1}{x}}dx} \)
2. \( \int_{0}^{\pi}{\sin^4{x}\cos^2{x} dx} \)
3. \( \int_{2}^{3}{\frac{2x^3+4x^2-1}{x^4+2x^3+x^2-2x-2}dx} \)

1. Oдредити за које вредности параметра \( a\) интеграл \( \int_{0}^{+\infty}{\sin{\frac{1}{(x^2 + 1) ^ a}} dx }\) конвергира .
2. Одредити за које вредности параметра \(a \gt 0 \) тело добијено ротацијом криве \( f(x) = 1 - \cos{\frac{1}{x^a}}, x \in [1, +\infty] \) око \( x \)-осе има коначну запремину.

1. Израчунати површину обртног тела насталог ротацијом функције \( f(x) = \sqrt{r^2-x^2} \) око \(x\)-осе на интервалу \([-r, r] \).
2. Да ли је подинтегрална функција у интегралу за површину ограничена? Зашто интеграл конвергира?

1. Наћи област конвергенције степеног реда \( \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{13^n}{n \ln^3{n}} x^n}. \)
2. Развити у степени ред у околини нуле \(\frac{2x}{(1+x^2)^2} \).

1. Развити \( f(x) = \left\{\begin{matrix} 1, x \gt 0 \\ 0, x \leq 0 \end{matrix}\right. \) у Фуријеов ред на \( [-\pi, \pi] \).
2. Израчунати \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2n+1}} \) .