МАТФ РОКОВИ
12.02.2018.

Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Јануар 2

1

Нека је \(P\) тачка на описаном кругу троугла \(ABC\). Праве које садрже тачку \(P\) и нормалне су на странице \(BC, CA\) и \(AB\) поново секу круг у тачкама \(A_1, B_1\) и \(C_1\) редом. Доказати да су троуглови \(ABC\) и \(A_1, B_1, C_1\) подударни.

2

Нека је у троуглу \(ABC\) тачка \(A'\) подножје нормале из тачке \(A\) на страницу \(BC,\) \(S_b\) и \(S_c\) центри споља приписаних кругова који одговарају теменима \(B\) и \(C\), а \(\overline{S_b}\) и \(\overline{S_c}\) пројекције тачака \(S_b\) и \(S_c\) на праву \(AA'\). Доказати да су тачке \(A,A',\overline{S_b}\) и \(\overline{S_c}\) том редоследу хармонијски спрегнуте тачке.

3

Конструисати троугао \(ABC\) ако су дате три неколинеарне тачке \(A_1,S\) и \(E\) такве да је \(A_1\) средиште странице \(BC\), \(S\) је центар уписаног круга троугла \(ABC\) и \(E\) је тачка у којој симетрала унутрашњег угла код темена \(A\) сече ивицу \(BC\).

4

Доказати да је композиција четири раванске рефлексије еуклидског простора којима су основе одређене бочним пљоснима четворостране пирамиде \(ABCDS\) чија је основа произвољан четвороугао \(ABCD\), осна ротација тог простора.

5

Нека је у хиперболичкој равни дат правоугли троугао \(ABC\) са правим углом код темена \(C\) и нека је тачка \(E\) средиште странице \(AC\). Доказати да нормала на \(AC\) у тачки \(E\) садржи неку тачку \(D\) са дужи \(AB\), затим да је \(AD=CD\) и да је \(BD\gt AD.\)